تربیع دایره ، مسئله ای در هندسه در بارة ترسیم مربعی که مساحتش با مساحت دایره ای مفروض برابر باشد. این مسئله ، یکی از سه مسئلة هندسی مشهور در یونان باستان و دورة اسلامی است (دو مسئلة دیگر: تضعیف مکعب * و تثلیث زاویه * ). اگر بتوان شکلی محصور با پاره خطهای راست یافت که مساحتش با مساحت دایرة مفروض برابر باشد، این مسئله حل شدنی است .

نسلهای متوالی از هندسه دانان یونان با این مسئله و گونه های مختلف آن درگیر بودند. در حدود 450 ق م بقراط خیوسی نشان داد که به کمک خط کش و پرگار می توان مربعی هم مساحت با نوع خاصی ماهک (شکل هلالی محصور به دو کمان دایره ) رسم کرد. او همچنین نشان داد که می توان مربعی یافت که مساحتش با نوعی دیگر از ماهک به علاوة یک دایره برابر باشد، البته این کار منجر به حل مسئلة تربیع دایره نمی شود (هیث ، ج 1، ص 183ـ200).

آنتیفونِ آتنی (ح 400 ق م ) متوجه شد که تربیع دایره به طور تقریبی ممکن است ، زیرا می توان مربعهایی رسم کرد که مساحتشان با چند ضلعیهای منتظم محاطی دارای چهار یا هشت یا شانزده ... ضلع برابر باشد. دینوستراتوس (میانة قرن چهارم پیش از میلاد) برای تربیع دایره از یک منحنی غیرجبری به نام مربع ساز استفاده کرد. ارشمیدس (قرن سوم پیش از میلاد) ثابت کرد که مساحت دایره با مساحت مثلث قائم الزاویه ای که قاعده اش برابر با محیط دایره و ارتفاعش برابر با شعاع دایره باشد، برابر است ؛ بنابراین ، در صورتی که بتوان پاره خط راستی مساوی با محیط دایره رسم کرد، تربیع دایره ممکن است . ارشمیدس چنین پاره خطی را به کمک خط مماس بر یک مارپیچ رسم کرد. هیچیک از این راه حلها با ابزارهای متعارف در هندسة اقلیدسی (خط کش و پرگار) مقدور نیست و در واقع حل این مسئله با خط کش و پرگار ناممکن است (هیث ، همانجا). ارشمیدس روش دیگری هم برای حل این مسئله عرضه کرد که در نهایت مفیدتر از کار در آمد. او با در نظر گرفتن 96 ضلعیهای منتظم محاطی و محیطی نشان داد که نسبت محیط دایره به قطر آن ــ که اکنون با حرف یونانی  نشان داده می شود ــ بتقریب 17 3 <  < 1071 3 است .

ریاضیدانان دورة اسلامی نیز برای حل مسئلة تربیع دایره ، آن را از جنبة نظری و عملی یعنی بسط تقریبی  و تکمیل روش دوم ارشمیدس ، بررسی کردند. دانشمندان دورة اسلامی نخستین بار از طریق رسالة تربیع الدائرة ارشمیدس که ثابت بن قُرّه (سزگین ، ج 5، ص 130ـ131) آن را از یونانی به عربی ترجمه کرد، با مسئلة تربیع دایره آشنا شدند. این رساله در دورة اسلامی به نامهای تکسیر دایره ، مساحة الدایرة ، و کتاب مساحة الدائرة و تکسیرها نیز شناخته می شد (همان ، ج 5، ص 130). خواجه نصیرالدین طوسی در قرن هفتم آن را بازنویسی کرد. این بازنویسی با عنوان مقالة ارشمیدس فی تکسیر الدائرة در انتهای رسالة تحریر الکرة و الاسطوانة ارشمیدس (ص 127ـ133) به چاپ رسیده است . صفدی به اشتباه رساله ای با نام تربیع الدایرة را به خواجه نصیرالدین طوسی نسبت داده است (ج 1، ص 181) و ون دایک نیز از متن چاپ شدة رسالة شکل القطاع خواجه نصیرالدین طوسی به اشتباه با عنوان تربیع الدائرة یاد کرده است (ص 239).

از دانشمندان دورة اسلامی ، تنها ابن هیثم رسالة مستقلی در بارة تربیع دایره به نام مقالة فی تربیع الدایرة تألیف ، و در آن (ص 85) از رسالة مساحة الدایرة ارشمیدس یاد کرده است . از رسالة ابن هیثم نسخه های متعددی باقی مانده است (برای آگاهی از مشخصات آنها رجوع کنید به سزگین ، ج 5، ص 365). ابن هیثم در این رساله بیش از آنکه در جستجوی راه حل هندسی تربیع دایره باشد، به دنبال تبیین فلسفی این مسئله بوده (آلبرتینی ، ص 6ـ7) و توضیح داده است (ص 46ـ47) که در اینگونه مسائل ، عرضة برهان برای امکان حل مسئله کافی است و اعتبار این برهان بستگی به امکان تحقق یافتن آن ندارد. او در انتهای این رساله (ص 46) نوشته است که بعدها در این باره رساله ای تألیف خواهد کرد، اما از آن اطلاعی در دست نیست . سوتر، مقالة فی تربیع الدایرة را به آلمانی ترجمه کرد و متن عربی را به همراه ترجمة آلمانی در 1899 در برلین به چاپ رساند. این رساله به فرانسوی (آلبرتینی ، ص 12ـ17) نیز ترجمه شده است . ابن هیثم همچنین مسئلة تربیع دایره را به طور نظری با مسئلة کلیتر تربیع ماهکها مقایسه کرده که تقریباً همان روش بقراط خیوسی برای تربیع ماهکهاست . ابن هیثم (ص 42) استدلال کرده است که اگر بتوان ماهکها را تربیع نمود، امکان تربیع دایره نیز وجود خواهد داشت . او دو رسالة مقالة مختصرة فی الاشکال الهلالیة و مقالة مستقصاة فی الاشکال الهلالیة (ابن ابی اصیبعه ، ص 559) را در بارة تربیع شکلهای هلالی (ماهکها) تألیف کرده بوده که در مقالة فی تربیع الدایرة خود (همانجا) از آنها یاد کرده است . مقالة مختصرة باقی نمانده است ولی از مقالة مستقصاة چند نسخه وجود دارد (برای آگاهی از این نسخه ها رجوع کنید به سزگین ، ج 5، ص 365ـ366).

بعضی دانشمندان دورة اسلامی به موضوع تعیین نسبت محیط دایره به قطر آن پرداختند، از جمله ابوریحان بیرونی (ج 1، ص 303) حدس زد که این نسبت کمّیتی گُنگ است و غیاث الدین جمشید کاشانی مقدار تقریبی آن را با استفاده از چند ضلعیهای منتظم محاطی و محیطی دارای 28 2*3 ضلع تا شانزده رقم دهدهی به دست آورد (قربانی ، ص 143ـ152)، اما ریاضیدانان دورة اسلامی همچنان در بارة حل شدنی بودن مسئلة تربیع دایره تردید داشتند.

در مکتبهای مختلف ریاضی جهان کوششهایی شد تا مقدار دقیق  که معادل حل مسئلة تربیع دایره است ، بویژه از طریق نمایش  به صورت رشته ، تعیین شود. ریاضیدانان چینی مقدار 355113 را برای  یافتند که تا شش رقم دهدهی صحیح است . در مکتب ریاضی مادهوه در کِرالا (هندوستان ) نیز از 854/1450 به بعد نتایجی در این راه ، بدون زیربنای نظری حساب دیفرانسیل و انتگرال ، حاصل شد (کاتس ، ص 494ـ 496). ریاضیدانان اروپایی نیز در قرن یازدهم / هفدهم به نتایج مهمی دست یافتند؛ مثلاً جان والیس ، ریاضیدان انگلیسی ، حاصل ضرب بی پایان ... 76 . 56 . 54 . 34 . 32 =  4 را یافت . مثالِ دیگرِ تعیینِ مقدارِ  به روش حسابی از گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ، فیلسوف و ریاضیدان آلمانی ، به صورت ... 17 - 15 + 13 - 1 = 4  است (همان ، ص 525 ـ527). این پیشرفت با پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن یازدهم / هفدهم مرتبط بود. با این حساب جدید، رشته های مشابه ولی پیچیده تری برای تقریب زدن  به شیوه ای کارآمدتر از روش ارشمیدس یافته شد و به کار رفت ؛ مثلاً جان مکین ، ریاضیدان انگلیسی ، در 1118/ 1706 فرمول را یافت (بکمان ، ص 145). امروزه به کمک رایانه مقدار تقریبی  تا چند میلیارد رقم دهدهی به دست آمده است .

تکلیف مسئلة تربیع دایره را سرانجام فردیناند لیندمان ، ریاضیدان آلمانی ، در 1299/ 1882 با اثبات غیرجبری بودن عدد  روشن کرد (کلاین ، ص 981ـ982). معنای حکم او این است که  نمی تواند ریشة معادله ای جبری با ضریبهای صحیح باشد و بنابراین ، مسئلة هندسیِ یافتنِ مربعی هم مساحت با دایرة مفروض نه با خط کش و پرگار حل شدنی است نه با سایر منحنیهای جبری مثل مقاطع مخروطی که در تثلیث زاویه و تضعیف مکعب به کار می روند. اثبات لیندمان بسیار پیچیده است ، ولی بعدها نیون ، ریاضیدان انگلیسی (1259ـ 1335/ 1843ـ1917)، اثباتهای ساده تری یافت که برای هر دانشجوی ریاضی درک شدنی است . یانوش بویویی ، ریاضیدان مجار (1217ـ1276/ 1802ـ1860)، در رساله اش در بارة هندسة اقلیدسی با نام > پیوست < (چاپ 1248/ 1832)، نشان داده است که تربیع دایره برای برخی دایره ها در هندسة نااقلیدسی ممکن است ، زیرا مساحت این دایره ها برابر با 2  است که در آن  عدد متغیری وابسته به شعاع دایره است (اشتکل ، ج 2، ص 214ـ216).

---

منابع :
(1) ابن ابی اصیبعه ، عیون الانباء فی طبقات الاطباء ، چاپ نزاررضا، بیروت ( 1965 ) ؛
ابن هیثم ، مقالة فی تربیع الدایرة ، چاپ هاینریش سوتر در

(2) ابوریحان بیرونی ، کتاب القانون المسعودی ، حیدرآباد دکن 1373ـ 1375/ 1954ـ1956؛
(3) صفدی ؛
(4) ابوالقاسم قربانی ، کاشانی نامه : احوال و آثار غیاث الدین جمشید کاشانی ، تهران 1368 ش ؛
(5) محمدبن محمد نصیرالدین طوسی ، مجموع الرسائل ، ج 2: کتاب فی الکرة و الاسطوانة لارشمیدس ، حیدرآباد دکن 1359؛
(6) ادوارد ون دایک ، کتاب اکتفاء القنوع بما هومطبوع ، چاپ محمدعلی ببلاوی ، مصر 1313/ 1896، چاپ افست قم 1409؛


/ ی . پ . هوخندایک و فرید قاسملو /