ابوکامل

اَبوكامِل، شجاع بن اسلم بن محمد بن شجاع، معروف به حاسب مصری، ریاضی‌دان سده‌های 3 و 4 ق / 9 و 10 م و یكی از واپسین نمایندگان مكتب كهن جبر در ریاضیات اسلامی و بزرگ‌ترین عالم جبر پس از خوارزمی (ابن‌ندیم، 339؛ ابن‌خلدون، 3 / 1129؛ GAS, V / 277). وی مجلس درس داشته و زمانی نیز در تأسیسات دریایی مصر خدمت می‌كرده است (قفطی، 211؛ انبوبا، «علم جبر»، 79، مقدمه، 17-18). از ابوكامل در شمار راویان حدیث نیز نام برده شده و ابن حجر عسقلانی یك حدیث مسند از وی نقل كرده است (3 / 139).
در منابع اسلامی از آثار ابوكامل با ستایش بسیار یاد شده است. این آثار همچنین مورد استفادۀ برخی از ریاضی‌دانان اروپا قرار گرفته است (لوی، 30-31؛ قربانی، 103؛ هوخندیك، مقدمه؛ میه‌لی، 108؛ برگ گرن، 108). با اینهمه تا اواخر سدۀ 19 م، این آثار در اروپا چندان شناخته نبود. در سالهای پایانی سدۀ 19 م و آغار سدۀ 20 م برخی از دانشمندان غربی به پژوهشهای بیشتری دربارۀ این ریاضی‌دان برجسته پرداختند (GAS, V / 277-278).
ابوكامل بیشتر به سبب كاربرد شیوه‌های جبری برای حل مسائل هندسی شهرت یافته است.

آثـار

1. الجبر و المقابلة، كه شامل 3 بخش است. بخش نخستین آن كه اكنون به عنوان كتاب جبر شناخته می‌شود، همانند كتاب الجبر و المقابلۀ خوارزمی است، اما به جهت اثبات روابطی از قبیل:
(1)

(2)

(3)
و نیز استفاده از اعداد گنگ به عنوان ضریب معادلات درجه 2 و پذیرش اینگونه اعداد به عنوان ریشه‌های این معادلات در سطحی بسیار بالاتر از كتاب خوارزمی قرار می‌گیرد (یوشكویچ، 220-232؛ برگ‌گرن، 109). این بخش به زبانهای لاتین، عبری، آلمانی و انگلیسی ترجمه شده است (GAS, V / 281). در بخش دوم این كتاب زیر عنوان «المخمس و المعشر» كاربرد روشهای جبری برای حل مسائل هندسی آموزش داده می‌شود. در این زمینه نیز خوارزمی گامهای نخست را برداشته بود، اما ابوكامل به گونۀ بسیار گسترده‌تری از این شیوه استفاده كرد. تكامل این شیوه‌ها سرانجام به پدید آمدن هندسۀ تحلیلی از سوی دكارت انجامید، اینك دو نمونه از مسائلی را كه ابوكامل با این روش حل كرده است، می‌آوریم:
الف ـ محاسبۀ اندازۀ ضلع یك پنج پهلوی منتظم محاطی: پنج ضلعی منتظم KLMNP در دایره‌ای به قطر محاط است (شكل 1) می‌خواهیم NP=x را بر حسب R پیدا كنیم.

دو مثلث قائم الزاویۀ NAP و با هم متشابه هستند. در نتیجه:



از سوی دیگر:
(1)
با توجه به قضیۀ بطلیموس، در چهار ضلعی محاطی LKPM:

(2)
از (1) و (2) چنین نتیجه می‌شود:
(3)
طرفین رابطۀ (3) را بر LK، یعنی x، قسمت می‌كنیم. در نتیجه:

با مربع كردن طرفین نتیجه می‌شود:
(4)
از (1) و (4):

پس ازساده كردن به دست می‌آوریم:

و ابوكامل به درستی علامت منفی را انتخاب می‌كند، یعنی:

(زیرا: ).
ابوكامل برای 2R=10 جواب خود را به صورت زیر بیان می‌كند:

ب ـ مسأله دیگری كه ابوكامل با استفاده از جبر به حل آن پرداخته و در آن نخستین‌بار در معادلۀ درجه دوم ضرایب گنگ به كـار برده و مسـاحت و طول را بـدون توجـه بـه بُعـد ــ كه ریاضی‌دانان پیش از وی بدان التزام داشتند ــ باهم جمع كرده، چنین است: مجموع ارتفاع و مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی 10 می‌باشد، مطلوب است محاسبۀ ارتفاع. در اینجا اگر ارتفاع را با X نمایش دهیم، در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC (شكل 2) خواهیم داشت:
(1)

(2)

از (1) و (2) داریم:
درنتیجه:

در سدۀ 12 م گراردوس كرمونایی، بخش «المخمس والمعشر» را به لاتین ترجمه كرد. در سدۀ 15 م، مُردخای فینزی، این اثر را به عبری برگردانید (لوی، 30-31؛ جودائیكا، VI / 1301). زوتر بر آن است كه منبع ترجمۀ فینزی، ترجمۀ اسپانیایی این اثر بوده است («رساله»، 34). در 1896 م ترجمۀ ایتالیایی این اثر كه از سوی ساچردوته انجام گرفت، در جشن‌نامۀ 80 سالگی اشتاین اشنایدر منتشر شد. هاینریش زوتر این ترجمه را به آلمانی برگردانید و در 1910 م با عنوان، «رسالۀ ابوكامل ... » منتشر ساخت. وی همچنین خطاهای بسیاری را كه در ترجمۀ ساچردوته راه یافته است، نشان داد (نك‌ : همان، 15-33؛ قس: ساچردوته، 169-194).
در سومین بخش الجبر و المقابلة معادلات سیالۀ درجه دوم مورد بررسی قرار گرفته است. در این زمینه پیش از ابوكامل، برخی از ریاضی‌دانان و از جمله دیوفانتوس (سدۀ 3 م) به كارهایی برخاسته بودند و شمار اندكی از آثاری كه اینگونه مسائل در آنها بررسی شده، به دست ما رسیده است، اما هیچ‌گونه دلیلی بر آگاهی ابوكامل از ارثماطیقی دیوفانتوس ــ كه وی معادلات سیالۀ خود را در آن عرضه كرده ــ در دست نیست (سزیانو، مقدمه، 9-10).
معادلات سیالۀ ابوكامل از این قرار است:

در پایان كتاب برخی سرگرمیهای ریاضی از نوع دستگاههای معادلات خطی و نیز بخشی دربارۀ آنچه امروز به شكل بیان می‌شود، مطرح شده و سرانجام بخشهایی از یك اثر گم شدۀ خوارزمی نقل گردیده است.

الجبر و المقابلة در تكامل علم جبر تأثیر بسیار داشته است. فیبوناچی شمار بسیاری از مسائل این كتاب را چه بدون تغییر و چه با اندك تصرف، در آثار خود نقل كرده و از این راه به پیشرفت دانش جبر در اروپا كمك بسیار كرده است (یوشكویچ، 228؛ مصاحب، 1205؛ GAS, V / 280).
این بخش از الجبر و المقابلة در 1970 م از سوی پینكوس شوب و مارتین لوی به انگلیسی ترجمه و با بررسی مختصری با عنوان «مسائل معادلات سیاله» منتشر گردید. در 1977 م ژاك سزیانو اشتباهات این دو دانشمند را در شناخت این اثر ابوكامل و ارزش علمی آن نشان داد و ارزیابی دیگری از آن عرضه كرد و جایگاه ابوكامل را در تاریخ علم بیشتر شناساند (سزیانو، «روشها»، 89-105)، در 1986 م فؤاد سزگین چاپ تصویری نسخۀ خطی این اثر را كه در كتابخانۀ قره مصطفی پاشا به شمارۀ 379 نگهداری می‌شود، منتشر ساخت.
2. طرائف الحساب. این اثر شامل 6 مسأله است كه هر كدام یك دستگاه معادلۀ سیالۀ خطی تشكیل می‌دهد. معادلات سیالۀ خطی كه به آنها معادلات دیوفانتی خطی نیز گفته می‌شود، به شكل زیر نمایش داده می‌شود:
(1)
كه در آن ها و b اعدادی گویا و مثبت و جوابهای قابل قبول معادله نیز صحیح و مثبت است. دستگاه معادلات سیاله (با m معادله و n مجهول، m

. .
. .
. .

كته در آن ها گویا، ها توابعی گویا از ها و ها اعداد صحیح و مثبت است.
ریاضی‌دانان عصر ابوكامل، یا دست كم آنانكه او می‌شناخته، از معادلات سیالۀ خطی درك درستی نداشته‌اند. خود وی در مقدمۀ این كتاب گوید: اگر یافته‌های خود را در این باب بیان كنم، ممكن است موجب شگفتی شود، یا با ناباوری روبه‌رو گردد. ازاین‌رو بر آن شدم تا كتابی در این‌باره فراهم كنم و نشان دهم كه در حل اینگونه مسائل حالاتی گوناگون رخ می‌نماید. چنانكه یك مسأله گاه چند جواب و گاه یك جواب دارد و گاه نیز بدون جواب است («طرائف»، 294).
6 مسألۀ یاد شده در تاریخ ریاضیات به «مسائل پرندگان»
معروف شده‌اند. اینك برخی از آنها را می‌آوریم:
الف ـ با 100 درهم می‌خواهیم 100 پرنده از 3 نوع: اردك، گنجشك و مرغ خریداری كنیم. بهای هر اردك 5 درهم، هر 20 گنجشك 1 درهم و هر مرغ یك درهم است. مطلوب، شمار این پرندگان است. روشن است كه مسأله یادشده با دو معادلۀ سه مجهولی بیان می‌شود:

x: شمار اردكها، y: شمار گنجشكها و z: شمار مرغها.
ابوكامل این مسأله را بدون به كار بردن فرمول و به شیوه‌ای كه به زبان امروز به حذف z میان دو معادله تعبیر می‌شود (یعنی بیان z برحسب x و y ازهریك از دو معادله و برابر نهادن دو نتیجه)، حل می‌كند:

و مسأله تنها یك جواب دارد:
ب ـ دومین مسأله به صورت زیر بیان می‌شود:


كه ابوكامل آن را به همان شیوۀ یادشده، حل می‌كند و این‌بار به 6 جواب می‌رسد:

ج ـ پنجمین مسألۀ عرضه شده توسط ابوكامل، جواب قابل قبول ندارد و ظاهراً وی تنها برای نشان دادن امكان چنین حالتی آن را مطرح ساخته است. دستگاه حاصله چنین است:

ابوكامل با ضرب معادلۀ دوم در 3 و كاهش معادلۀ اول از آن (یعنی درواقع حذف z) به این نتیجه می‌رسد:

كوچكترین مقدار صحیح برای x‌، متناظر با است كه قابل قبول نیست.
د ـ دستگاه حاصله از ششمین مسألۀ طرح شده در این كتاب چنین است:

در اینجا نیز مانند همیشه جوابهای صحیح و مثبت موردنظر است.
با كاستن معادلۀ دوم از معادلۀ نخست چنین نتیجه می‌شود:
(3)
با جایگزین كردن مقدار x برحسب (3) در (1) نتیجه می‌شود:
(4)
ابوكامل دو حالت زیر را درنظر می‌گیرد:
الف ـ (m صحیح و مثبت)
ب ـ (m صحیح وغیرمنفی)
در حالت الف از (3) نتیجه می‌شود:
(k صحیح و مثبت)
از این رابطه نتیجه می‌شود كه z مضرب 3 و u مضرب 4 است، یعنی:

با توجه به كمینۀ مقادیر مجاز برای z و u، یعنی به ترتیب 3 و 4، بیشینۀ مقدار مجاز برای y به دست می‌آید:

همچنین از (4) نتیجه می‌شود:

از (4) همچنین نتیجه می‌شود:

یعنی، پس در حالت الف، مقادیر ممكن برای y و z و u چنین خواهد بود:

مقادیر x از معادلۀ (3) و مقادیر y از هریك از معادلات (1) و (2) به دست می‌آید. در حالت (ب) برپایه رابطۀ (3) عبارت

عددی صحیح و مثبت است و به ازای

از رابطۀ زیر نتیجه می‌شود كه z مضرب 3 است. در نتیجه برپایۀ (3):
(p صحیح و مثبت)
پس:
بدین ترتیب مقادیر ممكن برای u عبارتند از:

. . .
. . .
. . .

از (4) نتیجه می‌شود:

در نتیجه:
و از آنجا كه y فرد است، پس:
از (4) همچنین نتیجه می‌شود:

در نتیجه:
و از آنجا كه z مضرب 3 است، پس:
از (4) همچنین نتیجه می‌شود:

پس:
مقادیر قابل قبول برای u چنانكه قبلاً بررسی كردیم، به صورت 2+4q قابل بیان است (q صحیح و غیرمنفی)، پس: خواهد بود. بدین ترتیب در حالت (ب)، مقادیر ممكن برای y و z و u عبارت خواهد بود از:
(6)
اكنون باید از (5) و (6) برای هر یك از متغیرها اعدادی برگزینیم كه در (3) صدق كند. شمار گزینه‌های قابل قبول در حالت (الف)، 233‘1 و در حالت (ب)، 445‘1 یعنی در مجموع 678‘2 است. این ارقام را در دوران ما به كمك كامپیوتر به آسانی می‌توان یافت، اما با توجه به فقدان وسایل و سطح نازل نظریۀ اعداد در عصر ابوكامل، نزدیك شدن به حل صحیح مسأله توسط وی، یك كار سترگ و بی‌همتای ریاضی به شمار می‌رود. ابوكامل كه نخست گزینه‌های قابل قبول در حالت (ب) را محاسبه كرده و سپس به اختصار به حالت (الف) پرداخته، برای حالت (ب) رقم 442‘1 و برای مجموع گزینه‌ها، رقم 676‘2 را به دست آورده است، نتیجه‌ای كه با توجه به امكانات عصر وی، حیرت‌انگیز است (نیز نك‌ : زوتر، «كتاب طرائف»، 118؛ یوشكویچ، 233-234).
در یگانه نسخۀ خطی كه از این اثر در دست است، به عنوان پاسخ نهایی مسأله، 3 بار عدد 696‘2 و یك بار عدد 676‘2 كه به پاسخ درست بسیار نزدیك‌تر است، آمده است (ابوكامل، «طرائف»، 294، 306، 310). زوتر كه خود نیز به محاسبه پرداخته و به همان رقم 676‘2 رسیده است، عدد 696‘2 را ناشی از اشتباه كاتب می‌داند (همان، 100, 101, 108, 111). این استنتاج به احتمال بسیار، درست است. دراین نسخه همچنین برای گزینه‌های قابل قبول در حالت (ب)، رقم 442‘1 به دست داده شده است. زوتر كه خود برای این حالت رقم 443‘1 را درست می‌شمارد (در حالی كه پاسخ درست، 445‘1 است)، در اینجا از احتمال اشتباه كاتب سخن نمی‌گوید، در حالی كه با توجه به عدد به دست آمده توسط ابوكامل، برای مجموع گزینه‌های قابل قبول، در اینجا نیز خطای كاتب بسیار محتمل است.
جالب توجه است كه نظایر این مسأله در چین و هندوستان، و اروپای سده‌های میانه نیز مطرح شده‌اند. بیشتر اینگونه مسائل به «مسائل پرندگان» شهرت دارند و عدد 100 به عنوان معلوم معادلات در اغلب آنها تكرار می‌شود. روشن است كه ریاضی‌دانان این كشورها در این زمینه از یكدیگر تأثیر پذیرفته‌اند (نك‌ : جعفری، 101-104, 200). این اثر به زبانهای عبری و لاتین ترجمه شده است (EI2;
GAS, V / 281). در 1910 م نیز زوتر آن را به آلمانی ترجمه كرد و با عنوان «كتاب طرائف ... » منتشر ساخت. در 1963 م احمد سلیم سعیدان تصویر نسخۀ خطی اصل این اثر را كه در لیدن، به شمارۀ 199 نگهداری می‌شود، در مجلة معهد المخطوطات العربیة منتشر ساخت.
این اثر در 1985 م در مجموعه‌ای با عنوان تاریخ علم الجبر فی العالم العربی به كوشش احمد سلیم سعیدان در كویت به چاپ رسیده است. این چاپ با نسخۀ تصویری منتشر شده تفاوتهای چشمگیری دارد.
3. مساحة الارضین، از این اثر یك نسخۀ خطی در تهران موجود است (دانش‌پژوه، 1 / 13).
4. الوصایا بالجذور. نسخۀ خطی این اثر در موصل (كتابخانۀ خصوصی علی صائغ) نگهداری می‌شود (GAS، همانجا).
ابن ندیم علاوه بر آنچه یاد شد، این آثار را نیز به ابوكامل نسبت می‌دهد: الفلاح، مفتاح الفلاح، العصیر، الجمع و التفریق، كتاب الخطأین، المساحة و الهندسة، الكفایة (ص 339؛ نیز نك‌ : زوتر، «ریاضی‌دانان»، GAS;
43، همانجا).

مآخذ

ابن حجر عسقلانی، لسان المیزان، حیدرآباد دكن، 1330 ق؛
ابن خلدون، مقدمه، قاهره، درالنهضة؛
ابن ندیم، الفهرست؛
ابوكامل، شجاع، الجبر والمقابلة، چاپ تصویری، با مقدمۀ یان پ. هوخندیك، فرانكفورت، 1986 م؛
همو، «طرائف الحساب»، چاپ تصویری، ‌به كوشش احمدسلیم سعیدان، مجلة معهد المخطوطات العربیة، قاهره، 1963 م، ج 9؛
دانش‌پژوه، محمدتقی و بهاءالدین انواری، فهرست كتابهای خطی كتابخانۀ مجلس سنا، تهران، 1359 ش؛
قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامه ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، 1365 ش؛
قفطی، علی، تاریخ الحكماء، اختصار زوزنی، به كوشش یولیوس لیپرت، لایپزیگ، 1903 م؛
مصاحب، غلامحسین، تئوری مقدماتی اعداد، تهران، 1355 ش؛
نیز:

Anbuba, A., «L’ Algèbre arabe aux IXe et Xe siècles», Jornal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1978, vol. II(1);
id, introd. L’Algèbre Al-Badīʿd’ al-karagī, Beirut, 1964;
Berggren, J. L., Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, New York, 1986;
Djafari Naine, A., Geschichte der Zahlentheorie im Orient, Braunschweig, 1982;
EI2;
GAS;
Hogendijk, J. P., introd. Al-jabr (Vide: PB, Abū Kamel);
Judaica;
Juschkevitsch, A., Geschichte der Mathematik im Mittelatrer, Leipzig, 1964;
levy, M., «Abū Kāmil», Dictionary of Scientific Biography, New York, 1970, vol. I;
Mieli, A., la Science arabe et son róle dens l’évolution scientifique mondiale, Leiden, 1938;
Sacerdote, G., «II trattato del Pentagono e del decagono», Festscrift zum 80. Geburtstage Moritz Steinschneiders, Leipzig, 1896;
Sesiano, J., introd. Boooks IV to VII of Diophantus Arithmetica, New York, 1982;
id, «Les Méthodes d’analyse indeterminée chez Abu-kamil», Centaurus, Copenhagen, 1977, vol. XXI;
Suter, H., «Die Abhandlung des Abu Kamil schogaʿ b. Aslam ... », Bibliotheca Mathematica, 1909-1910, vol. X;
id, «Das Buch der Seltenheiten der Rechenkunst von Abu Kamil el-miṣrī», Bibliotheca Mathematica, 1910-1911, vol, XI;
id, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900.

علیرضا جعفری نائینی